Shun Li's Notes

一个积分不等式的泛函视角

684 words

Problem

设 （即 绝对连续， ， ），求证：

通常高等数学范围内的解法是构造性的，其实抹去了所有细节。

Proof

构造函数 ，显然 以及 ，计算

利用 Cauchy 不等式可得

得证。

从有界线性泛函、Hilbert 空间和 Riesz 表示定理的角度出发，求解过程就会非常清晰。

Proof

考虑 Hilbert 空间 ，对应的内积和范数定义如下

定义线性泛函：

我们需要：

  1. 验证 是 上的有界线性泛函；

  2. 根据 Riesz 表示定理求出 使得

    此时原题相当于要求 的算子范数满足

  3. 根据 Riesz 表示定理，有 ，因此验证 即可完成证明。

由 Cauchy 不等式和 Poincaré 不等式：

因此 是有界线性泛函并且 。这里的 可以取 Poincaré 不等式中的常数（最优 Poincaré 常数为 ）。

根据 Riesz 表示定理：对于 上的有界线性泛函 ，存在唯一的 使得

并且 。 因此计算 的问题自然转化为求 ：

因此 满足如下方程（在分布意义下的弱形式）

解得

因此

原命题得证。易得等号成立当 与 成比例，即 。

可以模仿上述思路批量生成类似的积分不等式题：选取一个 Hilbert 空间 ，任取一个有界线性泛函 ，自动对应一个 Riesz 表示函数 ，从而得到一类最优系数的积分不等式。 更一般地，若 是任意有界线性泛函，则由 Riesz 表示定理，存在唯一的 ，使得

因此

如果仍然限制在 并使用上述内积，我们可以用积分算子定义一类有界线性泛函：取任意 定义

则存在唯一的 ，满足

此时显然有

等号成立当且仅当 。

为了计算系数 的具体值，我们还需要从下面的方程中解出 ：

也可以用 Green 函数来给出显式表达式：

于是

下面给几个具体的例子：

  1. 取 ，得到

    因此

  2. 取 ，得到

    因此

  3. 取

    即

    得到

    因此

除了使用 函数积分定义的线性泛函，我们还可以选取点值泛函得到一些更有意思的不等式：

  1. 取点值泛函 ， ，得到（在分布意义下）

    解得

    因此 ，从而得到

  2. 取两点差值 ， ，得到（在分布意义下）

    因此

    计算可得

    于是

    从而得到

    注意这个不等式的系数是最优的。如果直接用 Cauchy 不等式放缩，得到的不等式

    对应的系数更大。

这里得到的一系列不等式当然可以在高等数学的范围内通过一些构造性的方法进行证明，但上述方法显然更加直观且思路清晰。