关于局部截断误差阶数的讨论

在数值解中，我们习惯使用如下的阶数定义：（下面讨论中的所有记号默认都是正数）

Definition

如果数值格式的局部截断误差 $\tau_j^n$ 满足：存在正数 $p,q > 0$ ，使得下式成立

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那么称数值格式的局部截断误差阶数为 $(p,q)$ 。

Remark

这里的 $\mathcal{O}$ 记号可以解释为：存在有界系数 $C > 0$ ，使得

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其中 $C$ 可以和时间有关，但是必须与网格尺度 $\Delta t,\Delta x$ 无关。在张强的教材中要求 $p,q$ 为不可改善的正数，即不可以再提高；但是有的教材中并未提及这一点。

在定义中并没有断言任意数值格式的局部截断误差都满足上述的形式，事实上，确实存在一些经典的数值格式不满足这个形式，例如对流方程 $u_t + a u_x = 0$ 的 Lax-Friedrich 格式

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显然局部截断误差不可能写成定义中的形式。我们必须先假定 $\Delta t$ 和 $\Delta x$ 之间的关系，然后才能讨论 Lax-Friedrich 格式的阶数，这表明 Lax-Friedrich 格式是有条件相容的。例如在固定网格比 $\lambda = \frac{\Delta t}{\Delta x}$ 之后，格式具有一阶的精度。

基于大 $\mathcal{O}$ 记号的性质，如果我们基于泰勒展开等方式推导出的局部截断误差包括很多项，但是不含混合项

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其中 $a_i,b_i \in \mathbb{N}$ ，那么对于同一类型的误差项，高阶的余项可以被低阶的余项包含，因此

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显然这是最优的形式。

如果在某个格式的局部截断误差中产生了混合项，情况会变得复杂，考虑下面的情景

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此时格式的阶数应该是多少？利用Young不等式对混合项直接放缩可得

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记 $q = 1+\delta$ ，其中 $\delta > 0$ ，那么 $p = 1 + \frac{1}{\delta}$ ，将原式改写为

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我们似乎得到了无数个符合阶数定义的数对：

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需要对此进行分类讨论：

一种最理想的情况是 $a \leqslant c$ 和 $b \leqslant d.$ 同时成立，此时混合项的每一部分都可以其它项所控制，混合项放缩得到的总是高阶项，无论 $\delta >0$ 如何选取，实际只有一个结果： $(a,b)$ ，这个结果显然也是最优的。
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如果 $a \leqslant c$ ， $b > d$ ，放缩混合项可得所有可选的数对为
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时间阶数为 $a$ 是显然的，但是空间阶数看起来会随着 $\delta > 0$ 的取值不同，在 $(d,b]$ 之间发生变化，根据不可改善的正数这个表述，我们应该取最大值作为空间阶数
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同理可得
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这表明：只要混合项中的一部分可以被控制，总是可以通过放缩来控制整个混合项。
如果 $a > c$ ， $b > d$ ，那么随着 $\delta > 0$ 的取值不同，两个分量都可能发生变化，所有符合要求的数对为
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时间阶数在 $(c,a]$ 变化，空间阶数在 $(d,b]$ 变化，但是两者不会同时取到上界。这导致此时对截断误差无法给出明确的时空阶数定义。

我们再考虑一种更糟糕的情况，假设某个格式的局部截断误差中产生了混合项，并且缺少其中一部分的误差主项，例如

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那么代入前面的计算也可以得到无数个符合阶数定义的数对：

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这里对空间阶数的可能选取直接不存在上界了，因此我们也无法合理地定义空间误差阶数。同理如果缺少时间误差主项，那么也无法合理地定义时间误差阶数。

小结：如果截断误差中存在混合项 $(\Delta t)^c (\Delta x)^d$ ，只有在同时存在时间误差主项 $(\Delta t)^{a}$ 和空间误差主项 $(\Delta x)^{b}$ ，并且要求 $a \leqslant c$ 或 $b \leqslant d$ 成立，才能合理地控制混合项

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