关于一元多项式方程的笔记

Problem

推导实系数一元三次方程的求根公式。

Solution

不失一般性，考虑不含二次项的实系数一元三次方程的求解，记作

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假设一个根形如 $x_* = u + v$ ，代入可得

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如果 $u$ 和 $v$ 满足如下方程组

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则 $x_* = u + v$ 就是原三次方程的根。将 $v = -\frac{p}{3 u}$ 代入可得

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这是一个关于 $u^3$ 的一元二次方程，可以解得

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对于三次方程，习惯上定义判别式为

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因此可以取

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得到方程的一个根

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基于一个根容易得到其它所有根（例如基于韦达定理）。

Remark

$\Delta$ 可以直接用于判断三次方程根的个数：

$\Delta > 0$ ，存在一个实数根和一对共轭复根；
$\Delta = 0$ ，存在三个实数根，并且至少有两个根相等，也可能三个根均相等（但是此时 $p=q=0$ 是非常平凡的）；
$\Delta < 0$ ，存在三个实数根。（虽然中间过程中有虚数，但是 $x_* = u + v$ 因为虚部抵消仍然是实数根）（这种情况下用三倍角公式进行代换其实更加简便，用反三角函数规避对虚数开方）

Example

求解 $x^3 - 15 x - 4 = 0$ 。

Solution

取 $p = -15$ ， $q = -4$ 代入计算

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因此

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Note

下面尝试梳理一下自己的理解。不失一般性，考虑不含二次项的实系数一元三次方程的求解，记作

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基于 $f(x)$ 的单调性分析易得：

若 $p > 0$ ，则 $f(x)$ 严格单调增，有且只有一个实根；
若 $p = 0$ ，则 $f(x) = x^3 + q$ ，有且只有一个实根 $x = \sqrt[3]{-q}$ ；
若 $p < 0$ ，则 $f(x)$ 在 $(-\infty,-\sqrt{\frac{-p}{3}})$ 单调增，在 $(-\sqrt{\frac{-p}{3}},\sqrt{\frac{-p}{3}})$ 单调减，在 $(\sqrt{\frac{-p}{3}},\infty)$ 单调增，可能有一个，两个或三个实根。

参考一元二次方程的经验，我们关注 $p < 0$ 时，恰有两个实根的临界情况，希望导出实根个数的判别式，判别式应该也会在求根公式中出现。计算可得

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因此有两个实根等价于

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为了和前面的记号统一，我们定义一元三次方程的判别式为

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因此：

若 $\Delta < 0$ ，则存在三个不相等的实根；
若 $\Delta > 0$ ，则存在一个实根；（以及一对共轭复根）
若 $\Delta = 0$ ，则存在三个实根，并且至少有两个根相等，也可能三个根均相等（ $p=q=0$ ）。

对曲线 $y=f(x)$ 在 $x$ -轴方向进行平移，记偏移量为 $v$ ，得到关于自变量 $u$ 的新曲线/方程

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整理可得

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我们不能期望某个系数为零来简化计算，重新整理如下

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如果偏移量 $u$ 可以保证 $3uv + p = 0$ ，那么显然可以简化计算，整理一下

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因此 $u^3$ 是如下一元二次方程组的解，这个一元二次方程的求解正好对应之前导出的判别式。

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Problem

推导实系数一元四次方程的求根公式。

Solution

不失一般性，考虑不含三次项的实系数一元四次方程的求解，记作

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其中 $q = 0$ 是平凡的情形，只需要求解 $x^2$ 满足的一元二次方程，下面假设 $q \neq 0$ 。

引入辅助变量 $y$ ，目标是凑出两个完全平方相等

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如果右侧关于 $x$ 的完全平方式，等价于要求

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取 $y$ 为上述一元三次方程的解，那么（由于 $q \neq 0$ ，有 $2y-p \neq 0$ ）

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相减可以得到两个关于 $x$ 的一元二次方程

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分别求解就可以得到原方程的根。

Remark

根据 Galois 理论，在 $n \geqslant 5$ 时，实系数一元 $n$ 次方程不存在一般性的求根公式。

Theorem (实系数多项式方程虚根成对定理)

考虑实系数一元多项式方程

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其中 $c_i \in \mathbb{R}$ ， $c_n \neq 0$ 。如果方程有虚根 $a + b i$ （ $a,b \in \mathbb{R}$ ， $b \neq 0$ ）使得 $f(a+b i) = 0$ ，那么必然还有另一个根 $a - b i$ 使得 $f(a - b i) = 0$ 。

Proof

只需要注意到

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Theorem (有理根定理)

考虑整系数一元多项式方程

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其中 $c_i \in \mathbb{Z}$ ， $c_n \neq 0$ 。如果有理数 $x = \frac{p}{q}$ （互素表示）是上述方程的根，那么

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Proof

直接代入可得

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通分得到

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分别将第一项和最后一项移动到右侧可得

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利用 $p,q$ 互素即可得到

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Remark

这个方法直接指导我们进行猜根，通过分解 $c_0$ 和 $c_n$ 进行组合即可筛选出所有的有理根。

下面系统梳理一下整系数三次方程求解的各种技巧。

猜根：首先猜测一下明显的有理根，如果猜对了，就可以直接降为一元二次方程进行求解。例如系数存在特殊结构
- 四个系数对称
  $Copy LaTeX$
  此时实际 $x=-1$ 就是一个根，可以降为二次求解。
- 四个系数反对称
  $Copy LaTeX$
  此时实际 $x=1$ 就是一个根，可以降为二次求解。
更一般的情况下，对于

找出所有有理数 $\frac{p}{q}$ ，满足

进行尝试。
猜不出根时，遵循卡尔丹公式的顺序，对于

先消除二次项，令 $x = y - \frac{b}{3a}$ ，得到

然后计算判别式

分类：
1. $\Delta < 0$ ，三个不同实根；
2. $\Delta = 0$ ，三个实根，且其中至少两个相等；
3. $\Delta > 0$ ，一个实根和两个虚根。
对于不含二次项的形式
$Copy LaTeX$
如果已知 $\Delta = 0$ ，有三个实根且至少两个根相等，那么直接求导计算导函数零点，就可以找到重根，进而完成求解。
对于不含二次项的形式
$Copy LaTeX$
如果已知 $\Delta < 0$ （必然有 $p < 0$ ），有三个不同实根。此时如果直接套公式，会出现虚数和三次根号的情况，非常繁琐。可以利用三倍角公式的技巧进行求解，注意到
$Copy LaTeX$
令
$Copy LaTeX$
得到
$Copy LaTeX$
因此方程等价于
$Copy LaTeX$
对于不含二次项的形式
$Copy LaTeX$
如果已知 $\Delta > 0$ ，有一个实根和两个虚根。此时继续沿用卡尔丹公式的推导，代换
$Copy LaTeX$
直接得到
$Copy LaTeX$
下一步就是求解 $u^3$ 满足的二次方程（这种情况下可以保证有实数解），然后就可以得到唯一实数根。

Example

求解

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Solution

计算判别式

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因此有三个不同的实数根。考虑代换

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得到

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因此可以取 $\theta = \frac{\pi}9$ ，使得

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是一个根，其他根易得。

Remark

这个方程其实就是三等分角所对应的方程，通过分析这个方程的不可约性，可以证明三等分角的尺规作图不可行。