初等不等式整理 · Shun Li's Notes

Proposition (基本不等式)

对于 $a,b \geqslant 0$ ，有

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Corollary

对于 $a,b \geqslant 0$ ，有

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Proof

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Definition

设 $a_1,a_2,\dots,a_n \geqslant 0$ ，定义

Proposition (均值不等式)

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当且仅当所有 $a_i$ 都相等时取等号。

Proposition (幂平均不等式)

对于非负数 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 和实数 $r > s$ ，有

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当且仅当所有 $a_i$ 都相等时取等号。

Proposition (排序不等式)

若 $a_1 \leqslant a_2 \leqslant \dots \leqslant a_n$ 且 $b_1 \leqslant b_2 \leqslant \dots \leqslant b_n$ ，则

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其中 $\{a'_i\}$ 与 $\{b'_i\}$ 分别是 $\{a_i\}$ 与 $\{b_i\}$ 的任意重排。

Proposition (三角不等式)

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Proposition (Cauchy--Schwarz 不等式)

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Proposition (Holder 不等式)

设 $p,q > 1$ 且 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ ，则

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Proposition (Minkowski 不等式)

设 $p \geqslant 1$ ，则

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Proposition (反 Minkowski 不等式)

设 $0 < p < 1$ ，则

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Proposition (Titu 引理)

对任意实数 $a_1, a_2, \dots, a_n$ 和正实数 $b_1, b_2, \dots, b_n$ ，有

Definition

若函数 $f$ 的定义域 $\text{Dom}(f)$ 是凸集，并且

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对任意 $0 \leqslant t \leqslant 1$ 都成立，则称 $f$ 为凸函数。

Proposition (Jensen 不等式)

若 $f$ 为凸函数，则

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其中 $\omega_i \geqslant 0$ ，且 $\sum_{i=1}^n \omega_i = 1$ 。

Proposition (Young 不等式)

对于 $a,b \geqslant 0$ ， $p,q > 1$ 且 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ ，有

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Proof

不妨设 $a,b > 0$ 。由于 $f(x) = -\ln(x)$ 是凸函数，故

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Corollary (带 ε 的 Young 不等式)

对于 $a,b \geqslant 0$ ， $p,q > 1$ 且 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ ，有

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Proof

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Proposition (Bernoulli 不等式)

对任意实数 $x \geqslant -1$ ，有