高中数学中的数列 · Shun Li's Notes

Problem

推导如下数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和公式

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其中 $\{b_n\}$ 为等差数列， $\{c_n\}$ 为等比数列。

不妨记 $b_n$ 和 $c_n$ 的通项公式为

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前 $n$ 项和

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Solution (错位相减)

第一种推导方法是错位相减

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两者相减可得

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Solution (辅助函数)

第二种推导方法是辅助函数，定义辅助函数 $f(x)$ 并求导可得

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因此

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前 $n$ 项和

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Solution (阿贝尔求和公式)

对于数列 $\{b_n\}$ 和 $\{c_n\}$ ，如果 $\{c_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n = \sum_{i=1}^n c_i$ ，那么 $\{b_n c_n\}$ 的前 $n$ 项和为

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因此

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Remark

具体形式比较复杂，但是必然满足如下形式，因此还可以通过待定系数法确定

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在高中数学中，除了最基础的等差数列和等比数列通项公式，还有一些相关数列，它们的通项公式推导会涉及构造性的技巧，例如：

若 $a_{n+1} = q a_n + r$ ，需要凑出 $\delta \in \mathbb{R}$ ，使得
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进而得到 $\{a_{n} - \delta\}$ 为等比数列， $\{a_n\}$ 为等比数列逐项加上一个常数，形如
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若 $a_{n+1} = q a_n + r n + s$ ，凑出 $C_1,C_2 \in \mathbb{R}$ ，使得
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进而得到 $\{a_{n} - C_1 n - C_2\}$ 为等比数列， $\{a_n\}$ 为等差数列和等比数列的逐项和，形如
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若 $a_{n+1} = q a_n + r s^n$ ，变形可得
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进而得到 $\{\frac{a_{n}}{s^n}\}$ 满足第一种情形，最终得到 $\{a_n\}$ 为两个等比数列的逐项和，形如
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可以从反方向来分析上述构造性的推导过程：考虑一个由等差数列和等比数列组合生成的一般性数列

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其中 $a_n = a_1 + (n-1)d$ 和 $\widetilde{a}_n = \widetilde{a}_1 + (n-1)\widetilde{d}$ 是两个等差数列， $b_n = b_1 q^{n-1}$ 和 $\widetilde{b}_n = \widetilde{b}_1 \widetilde{q}^{n-1}$ 是两个等比数列，并且不妨取 $b_1 = 1$ ，那么

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因此，如果数列 $\Phi_n$ 满足递推关系

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就可以反过来考虑上述数列模型的构造，模型中一共涉及 $8$ 个系数，除了已经给出的系数 $q, \widetilde{q}$ 和 $b_1=1$ ，其它几个系数满足

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还有一个自由系数 $a_1$ 需要结合初值确定。