形式多项式与多项式函数

在初等数学中，多项式常常被直接视为函数。例如 $x^2$ 可以理解为函数 $x\mapsto x^2$ 。但在抽象代数中，通常所说的多项式是指形式多项式（formal polynomial），它与由其诱导的多项式函数需要严格区分。

设 $R$ 为交换环。多项式环 $R[x]$ 的元素形如

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注意这里的 $x$ 是形式不定元（indeterminate），而不是预先具有某个定义域的变量。形式多项式由其系数唯一确定，因此两个多项式相等当且仅当对应系数全部相等。例如在非零环 $R$ 上，

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始终成立，这是两个不同的多项式。

给定 $R$ 中的元素 $a$ ，可以对形式多项式进行求值：

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每个 $f\in R[x]$ 都诱导一个函数

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称为由 $f$ 诱导的多项式函数（polynomial function），应当区分形式多项式与它诱导的多项式函数。

Copy LaTeX 形式多项式 求值 多项式函数

在无限域上，两者的区别通常不明显：若 $\mathbb K$ 是无限域，并且

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则 $f-g$ 有无限多个根，只能是零多项式，得到 $f=g$ 。所以在 $\mathbb R,\mathbb C$ 等无限域上，形式多项式与其诱导的多项式函数一一对应，这也是初等数学中经常将二者混用的原因。在有限域上的情况则有所不同：设 $\mathbb F_q$ 是含 $q$ 个元素的有限域，则

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注意到多项式 $x^q-x$ 虽然不是 $\mathbb F_q[x]$ 中的零多项式，却可以诱导出恒零函数。因此，不同的形式多项式可能诱导出相同的多项式函数。

更准确地，形式多项式和它诱导的多项式函数之间，存在如下关系：

对于无限域 $\mathbb K$ ，有如下同构关系
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对于有限域 $\mathbb K = \mathbb F_q$ ，有如下同构关系
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Example

考虑有限域 $\mathbb F_2$ 上的形式多项式

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它们是三个不同的多项式，但作为 $\mathbb F_2\to\mathbb F_2$ 的函数，

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得到的对应关系都是

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因此，它们是同一个函数，只是有不同的写法而已。