行列式、伴随矩阵与 Cramer 法则

行列式有很多等价定义方式，一种最简单的做法是定义为关于 $n$ 个 $\mathbb{R}^n$ 向量的多重线性函数。

Definition

称函数 $\operatorname{det}(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_n)$ 为行列式，如果满足：

多重线性：关于每个变量是线性的；
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其中 $\lambda,\mu \in \mathbb{R}$ 。
反对称性：
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规范性：对于标准单位向量 $\{\boldsymbol{e}_i\}$
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对于向量组 $\{\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_n\}$ ，利用多重线性和反对称性容易得到：

Copy LaTeX 线性相关

考虑线性无关的向量组 $\{\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_n\}$ ，记 $\boldsymbol{b} = x_1 \boldsymbol{a}_1 + \dots + x_n \boldsymbol{a}_n$ ，那么任取指标 $i \in \{1,\dots,n\}$ ，有下式成立

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这就得到了 Cramer 法则。

Theorem (Cramer's rule)

对于线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ ，其中

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如果方程组存在唯一解 $\boldsymbol{x}^*$ ，那么

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Note

这里与常见的推导方式不同，只涉及到列向量的线性组合，以及行列式本身的性质，完全绕过了余子式，代数余子式和伴随方阵等概念。

前面将线性方程组视作列向量的组合表示，还可以从其他角度进行理解，例如将 $\operatorname{det}(A)$ 视作关于每一个分量 $a_{ij}$ 的函数。首先，由多重线性可以证明行列式有如下性质：

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其中 $f$ 是与 $\boldsymbol{a}_i$ 无关的函数。

根据行列式的反对称性：对于 $i\neq j$ ， $t \in \mathbb{R}$

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关于 $t$ 求导可得

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对于 $i=j$ 的情况，则有

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关于 $t$ 求导可得

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因此

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定义矩阵 $A^* \in \mathbb{R}^{n \times n}$ （这就是所谓的伴随矩阵）

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那么原式可以记作

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在 $A$ 可逆的情况下，显然有 $A^{-1} = \frac{1}{\operatorname{det}(A)}A^*$ 。

从这个角度继续推导 Cramer 法则：如果 $A x = b$ 存在唯一解 $x^*$ ，那么

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得到

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我们断言

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显然有

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利用前面证明的性质可得

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因此又得到了 Cramer 法则

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下面假设 $n\ge2$ 。关于伴随矩阵还有一些常见的结论：

对等式 $A^* A = \operatorname{det}(A)\,I$ 两边取行列式可以直接得到：
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在 $\operatorname{det}(A) \neq 0$ 时可以直接消去，利用扰动的技巧可以证明等式在 $\operatorname{det}(A) = 0$ 的情况下同样成立，因此伴随矩阵的行列式和原矩阵的行列式始终满足
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伴随矩阵的秩和原矩阵的秩存在一定的关联性：

从伴随矩阵的代数余子式定义出发，可以更容易地证明上述结论：
1. 对于第一个结论，直接利用 $\operatorname{det}(A^*) = (\operatorname{det}(A))^{n-1}$ 即可证明；
2. 对于第二个结论， $\operatorname{rank}(A) = n-1$ 表明：至少存在一个 $n-1$ 阶余子式不为零，因此 $\operatorname{rank}(A^*) \ge 1$ ，再利用 Sylvester 秩不等式
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  可以得到
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  因此 $\operatorname{rank}(A^*) = 1$ 。
3. 对于第三个结论， $\operatorname{rank}(A) < n-1$ 当且仅当 $A$ 的所有 $n-1$ 阶余子式均为 $0$ ，当且仅当 $A^*$ 所有元素均为零，亦即 $\operatorname{rank}(A^*) = 0$ ；

Remark

这些二级结论主要在线性代数出题时使用，在数值运算的实践中并不常见，因为矩阵相关的数值算法不需要行列式，Cramer 法则和伴随矩阵这一套概念。