一些有趣的数学题 · Shun Li's Notes

2026 年高考数学压轴题

Problem (2026 年新高考全国卷一（压轴题节选）)

对于定义在 $\mathbb{R}$ 的函数 $f(x)$ ，在 $x < 0$ 时， $f(x) = 2^x$ ，定义

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已知 $f(x)$ 满足如下性质：

$f(x_1) \leqslant f(x_2) \Rightarrow D(x_2) \subset D(x_1)$ ；
对于 $x \in (0,1)$ ， $f(x) < f(0)$ 。

求证：

$f(0) \geqslant 1$ ；
$f(x)$ 在 $x > 0$ 时单调增。

Proof

对于第一小问，使用反证法：若 $f(0) < 1$ ，则存在足够小的 $1 > \delta > 0$ ，使得

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因此

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但是显然有

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得到矛盾。

对于第二小问，分成三步：首先证明 $f(x)$ 在 $x \in (0,1)$ 小于等于 $0$ ；然后证明 $f(x)$ 在 $x \in (0,+\infty)$ 小于 $0$ ；最后证明 $f(x)$ 在 $x \in (0,+\infty)$ 单调增。

假设存在 $x_0 \in (0,1)$ ，使得 $0 < f(x_0) < f(0)$ ，得到

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此时必然存在 $M > 0$ ，使得

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得到

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但是显然有

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得到矛盾。因此 $f(x)$ 在 $x \in (0,1)$ 小于等于 $0$ 。

假设存在 $x_0 \in [1,+\infty)$ 使得 $f(x_0) > 0$ ，此时必然存在 $M > 0$ ，使得

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则对于任意 $s > M$ ，都有

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因此

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还有，对于任意 $s' > s$ ，都有

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因此

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因此

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即

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但是，我们可以取

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代入得到

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与 $f(\frac12) \leqslant 0$ 和 $f(-s) > 0$ 矛盾。因此 $f(x)$ 在 $x \in (0,+\infty)$ 小于等于 $0$ 。

对于 $x < 0$ 显然有

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对于 $x^* > 0$ ，显然有

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因此

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取遍所有 $x < 0$ 得到

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由于对 $x^* > 0$ 均成立，得证在 $(0, +\infty)$ 单调增。

复合函数与不动点

Problem

已知函数 $f$ 满足

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求 $f(0)$ 。

Solution

定义 $g = f \circ f$ ，则有

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显然 $g$ 和 $f$ 可交换

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断言：对于两个可交换的映射 $h_1$ 和 $h_2$ ， $h_1$ 会把 $h_2$ 的不动点映射到不动点（但是可能不是同一个不动点）。证明：若 $x_0$ 是 $h_2$ 的不动点，即 $h_2(x_0) = x_0$ ，那么

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这表明 $h_1(x_0)$ 也是 $h_2$ 的不动点，断言证毕。

设 $x$ 是 $g(x) = x^2 - x + 1$ 的不动点，满足

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解得 $x=1$ ，因此 $g$ 只有一个不动点 $x=1$ 。那么由上述断言可得 $f(1)$ 也是 $g$ 的不动点，因此

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由于 $g = f \circ f$ ，显然 $f$ 的不动点一定是 $g$ 的不动点，因此 $f$ 有且仅有一个不动点 $x=1$ ，即

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考虑 $g \circ f$ 作用在 $x=0$

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再考虑 $f \circ g$ 作用在 $x=0$ （显然 $g(0)=1$ ）

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由交换性两者相等，因此

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解得 $f(0)$ 为 $0$ 或 $1$ 。由于 $x=0$ 不是 $f$ 的不动点，因此 $f(0)=1$ 。

素数与三角函数

下面是一道看起来不好处理，其实有非常巧妙解法的题。

Problem

求证：对于任意实数 $\theta$ ，存在素数 $p$ ，使得

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Proof

注意到和差化积公式

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这四个值不可能全为负数，证毕。

2008 年江西数学压轴题

Problem (2008 年江西)

已知函数

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求证：对任意正数 $a$ ，始终成立 $1 < f(x) < 2$ 。

Note

三元不等式中常见的等式变形

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Solution

整理可得

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因此实际需要证明的是三元不等式： $\forall\,u,v,w > 0$ 满足 $u v w = 8$ ，都有

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左侧的证明实际上可以直接把根号去掉：对于 $x>0$ ，显然有 $\frac{1}{\sqrt{1+x}} > \frac{1}{1+x}$ 。可以证明：对于 $\forall\,u,v,w > 0$ 满足 $u v w = 8$ ，都有

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通分后易知，上式等价于均值不等式 $u+v+w \geqslant 6$ ，显然成立。

对于右侧不等式，定义变换 $g(u) = \frac{1}{\sqrt{1+u}}$ ，引入辅助变量 $\delta = \delta(u,v,w)$ 使得如下等式成立

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那么

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我们的目标是证明 $\delta > 0$ 。通过 $g(u)$ 可以反解出

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因此

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代入并整理可得

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由于 $g(u),g(v),g(w) < 1$ ，易得左式大于 $1$ ，右式必有 $\delta > 0$ ，原不等式得证。

Remark

这是一道以难度闻名的高考数学压轴题。这道题的第一问是单调性，直接省略；第二问的值域实际也是一个不等式的题目。

复合函数具有相反单调性的构造

Problem

求证：存在实值函数

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使得： $f \circ g$ 严格单调减，而 $g \circ f$ 严格单调增。

Note

这道题的出处是 2011年第四届罗马尼亚大师杯，参考资料：https://imomath.com/srb/zadaci/2011_rmm_resenja_e.pdf。如果不要求严格单调性，那么常值函数是平凡的。如果要求连续性或单调性，那么可能无法存在。

Solution

构造满足要求的函数 $f,g$ 即可完成证明，这里使用分段函数进行构造。取两个不相交的集合对 $\mathbb{R} \backslash \{0\}$ 进行分割：

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可以验证

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定义

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那么：

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三角形三等分线与阴影面积

Problem

考虑一个一般的三角形 $\Delta ABC$ ， $DEFGHI$ 为各边的三等分点，如下图所示，求阴影部分面积占 $S_{ABC}$ 之比。

三角形三等分线与阴影区域

Solution

对三角形内部的任意点 $P$ ，定义三元组 $(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$ 为其重心坐标

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显然有 $0 \leqslant \lambda_i \leqslant 1$ ，以及

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可以根据几何关系计算上图中任意一个交点的重心坐标，例如点 $N_1$ 作为 $AF$ 和 $CD$ 的交点： $AF$ 上的点满足 $(1-3t,2t,t)$ ， $CD$ 上的点满足 $(2t,t,1-3t)$ ，其中 $t \in [0,\frac13]$ ，联列解得交点 $N_1$ 坐标为 $(\frac47,\frac27,\frac17)$ 。同理可得各个点的重心坐标。

对三角形非阴影部分进行拆分，可以拆分为六个等面积的小三角形和三个等面积的长三角形。

三角形交点与重心坐标

先关注小三角形 $\Delta AN_1Q_1$ 的面积：由于 $N_1: (\frac47,\frac27,\frac17)$ 以及 $Q_1: (\frac12,\frac14,\frac14)$ ，可以计算得到

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再关注长三角形 $\Delta ABP_3$ 的面积：由于 $P_3:(\frac25,\frac25,\frac15)$ ，可以直接得到

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因此

Copy LaTeX 阴影

Remark

这是一道初中几何难度的题目，但是考虑面积比例时需要用到一些二级结论，这里基于重心坐标的解法更加简洁，但是超纲。

胡不归：加权线段和的最小值

Problem (胡不归)

初中数学有一个著名的胡不归模型，指的是一类加权线段和最值问题：给定一条定直线 $l$ ，定点 $B$ 点和动点 $P$ 在直线上，定点 $A$ 点在直线外，求 $|PA| + k |PB|$ 的最小值，其中加权系数 $k \in (0,1)$ 。

胡不归模型示意图

Solution

不妨取直线 $l$ 为 $x$ 轴， $B$ 为原点， $A = (x_0,y_0)$ 在第一象限，动点 $P=(x,0)$ ，那么 $|PA| + k |PB|$ 即

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显然最小值只能在 $x>0$ 取到，此时直接求导计算驻点

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因此驻点 $x_m$ 满足

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左式的几何含义是 $AP$ 直线与 $y$ 轴的夹角正弦值，因此取到最小值当且仅当

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Remark

这个模型中的函数对于初等数学是无法直接求极小值的，即使给出最小值点，验证它是最小值也不容易。在初中数学中，胡不归模型会依赖构造巧妙的几何关系进行求解：从 $B$ 出发，构造辅助直线 $l'$ ，把 $k |PB|$ 转换为 $P$ 到直线 $l'$ 的距离（由于 $k \in (0,1)$ ，这是可以做到的），然后最小值自然就是 $A$ 到直线 $l'$ 的距离。

长方体的正投影与影子面积

Problem (长方体在平行光下的正投影)

考虑空间中一个边长分别为 $a,b,c$ 的长方体，姿态任意。设平行光沿竖直方向向下照射，地面为水平面。要求描述长方体在地面上的影子形状，并研究影子面积的取值范围。

Solution

不妨把长方体的一个顶点固定为原点，过原点的三个棱对应方向记作单位向量 $\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}$ 。则长方体可以表示为

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记沿竖直方向 $\boldsymbol{k}=(0,0,1)^{\mathsf{T}}$ 向 $z=0$ 平面的正交投影为

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那么，影子区域就是三条棱的投影线段的 Minkowski 和

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其中集合之间的 Minkowski 和定义如下

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在一般姿态下，三个投影方向互不平行且均非零，影子为一个中心对称六边形；在特殊姿态下可能退化为平行四边形或矩形。等价地，也可以将长方体的八个顶点全部投影到地面，再对八个顶点的投影点取凸包

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下面关注影子的面积 $m(P(T))$ 的取值范围。对于一个面积为 $S$ 、单位法向量为 $\boldsymbol{n}$ 的平面图形，其在水平面上的正投影面积为 $S\,|\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{k}|$ ，因此

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由于 $\boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}$ 是一组标准正交基，竖直单位向量 $\boldsymbol{k}$ 在这组基下的坐标展开

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因此影子的面积范围问题可以转换为在约束 $x^2+y^2+z^2=1$ 下的函数

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取值范围问题。由 Cauchy 不等式易得最大值

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显然可以在某个倾斜状态下取到等号。然后关注最小值，记 $m=\min\{ab,bc,ca\}$ ，则有

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下界可以在最长的棱沿着竖直方向时取到。因此，投影的面积取值范围为

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三角形三条高线共点

Proposition (三角形三条高线共点)

三角形三条高线共点，交点被称为垂心。

Remark

垂心的存在性并不是显然，有很多初等几何的证明，例如基于相似三角形，构造辅助线等，这里给出一个更简洁的基于平面向量的证明。

Proof

对于三角形 $\Delta~ABC$ ，记任意点 $P$ ，那么： $P$ 在以 $A$ 为顶点的高线等价于 $AP$ 垂直于 $BC$ ，即

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同理， $P$ 在以 $B$ 、 $C$ 为顶点的高线等价于

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观察易得，这三个方程不是线性无关的，任意两个方程进行加减操作就可以得到第三个方程。这里有且仅有两个独立方程，也就是说： $P$ 如果同时位于两条高线上（也就是两条高线的交点），那么必然落在第三条高线上。因此三角形三条高线共点，命题得证。

三角形和四边形的面积公式

下面讨论一个有意思的问题：给定所有边的边长后，三角形和四边形的面积是否唯一确定？这实际对应了一个常识：三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性。

Proposition (Heron 公式（海伦--秦九韶公式）)

三角形面积可以被边长唯一确定。设三边长为 $a,b,c>0$ ，并满足严格三角不等式，那么面积为

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Proof

用正弦定理和余弦定理很容易推出，证明略。

Remark

这里也很容易看出三角形的合法情形和退化情形：

$a,b,c > 0$ 可以组成正常的三角形，当且仅当同时满足
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这就是任意两边之和大于第三边。
$a,b,c > 0$ 组成退化的三角形（面积为零），当且仅当
$Copy LaTeX$
即两边之和等于第三边。

四边形的情形则复杂得多，我们既需要考虑四条边的排列顺序，也需要区分凸、凹等不同构型，并且四个边长不足以唯一确定四边形的形状，还有一个独立的自由度（例如取一个对角线的长度），因此面积也是无法唯一确定的。

四边形示意图

Proposition (Bretschneider 公式)

设 $ABCD$ 为凸四边形，其边长依次为

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并记

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则四边形 $ABCD$ 的面积 $K$ 满足

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Proof

证明仍然是正弦定理和余弦定理的应用。

由 Bretschneider 公式立刻得到，在固定四个边长时，当且仅当

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时，面积取到最大值

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此时四边形恰可以作为一个圆的内接四边形。最小值的讨论则比较麻烦，通常是一个退化情形（退化为三角形）。