Shun Li's Notes

高考压轴题：极值点偏移

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极值点偏移最早可以追溯到 2010 年天津高考的导数压轴题，直到现在也是导数压轴题的一类经典题型，而且命题趋势是越来越复杂，从原来的两个点变到三四个点，而且不等式估计也越来越精细。

Remark

关于极值点偏移有很多解法，大体上可以分成消元法和构造函数法两类，前者直接换元跳出了原本的函数问题，后者则更能体现“极值点偏移”这个含义。

Example (2010年天津高考压轴题)

已知函数 ，若存在 使得

求证：

Solution

求导可得

因此，函数 在 单调增，在 单调减，在 时有渐近线 。 由于 ，结合单调性，不妨设 。

虽然函数在 处改变单调性，但是两侧并不是对称的，可以沿着 翻转做差： 构造函数

注意 和 关于 对称。 求导

始终有 ，因此 单调减。 由于 以及 ，可得

因此

由于 以及 ，再利用 在 单调减，可以得到

Example (2026年3月江南十校（最后一问简化）)

对于函数

若存在 （ ），使得

求证：

Note

这道题的条件 难以利用，但是从函数本身考虑，只是在三角函数 的基础上加上了一个指数因子 扰动，在 的范围内，变化幅度并不大。 对于 ，单调性是显然的，并且 关于 严格对称。 如果题目中的函数直接取 ，条件即

立刻得到：

但是加上扰动因子 之后，事情就变得复杂起来：函数不再关于 对称，极值点 向右侧稍微偏移。 的表现更是不好描述，并且 的存在性本身就提供了额外信息：通常 可以从两侧趋于极值点 ，但是这种情况显然无法保证 存在。

Solution

记

显然 和 有相同的零点 、 。 求导可得

因此 的单调性为： 在 单调减，在 单调增。 的单调性则为： 在 单调减，在 单调增，其中极值点 。

利用单调性可以得到

将题目中的等式用 改写即

由于 ，把扰动因子移除得到不等关系

不妨设 ，否则结论显然。分成两个部分进行估计：

  1. 关于 和 ：利用 关于 的对称性可得

    由于

    可以得到 ， 利用 在 的单调性可得

  2. 单独考虑 ：条件

    由于

    分类讨论：

    1. 若 ，那么

    2. 否则 ，由于 ，利用对称性可得

      利用 的单调性可得

综上可得

Problem (2022年浙江高考真题)

设函数

已知 ，曲线 上不同的三点 、、 处的切线都经过点 ，求证

  1. 若 ，则

  2. 若 ， ，则

Note

这是浙江高考卷最后一年，这道最后的压轴题非常的难。

Remark

第一小问是单调性，易得 在 单调减，在 单调增。 在 时，由于 ，有 。 在 时，取到最小值 。 在 时，取值 。

Solution

根据题意，构造辅助函数

题目的条件表明 存在三个不同的正零点 。 的单调性：

这里自然导出 与 的大小关系对应不同的情况，并且 不可能满足要求。 易得几个关键点或趋势的取值为

若 ， 的单调趋势为

因此 有三个零点时必须满足

基于这两个条件就可以推出要证明的不等式：第一个不等式

第二个不等式

若 ， 的单调趋势为

因此 有三个零点时必须满足

要证明的关于 的零点 的不等式，构造辅助函数

那么，需要证明的就是 的零点 和 满足

对换元后的 进行单调性分析

因此 的单调趋势为

并且易得

要证明的不等式可以合并为

展开即

利用条件 可得

整理可得

因此需要证明的是

引入记号

整理得到需要证明的不等式

其中 ，这个不等式的两个变量分别位于不等号两侧，因此证明过程思路比较自然： 首先考虑右侧，易证

在 单调增，因此只需要证明

这个不等式实际是对数函数在 右侧的一个估计（证明细节略）

相当于在经典的对数函数估计

的基础上又加了更精细的高阶项。

Remark

第二小问比传统的极值点偏移问题更加复杂，从两个零点变成了三个零点，而且有两个方向的不等式估计，导致之前的基于对称轴翻转的构造函数法失效了，只能用消元法去证明含对数的复杂不等式，而且计算量真是太大了。