函数的导数 · Shun Li's Notes

导数是微积分的核心概念之一，但是在现代数学中，为了满足分析学的需求，“导数”这一概念会被不断地推广，使得：

Definition (经典导数)

设 $f:\Omega\to\mathbb{R}$ ， $x_0\in\Omega$ 。若极限

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存在（有限），则称 $f$ 在 $x_0$ 处可导。若 $f$ 在 $\Omega$ 上每一点可导，则称 $f$ 在 $\Omega$ 上可导， $f'$ 为其经典导数。

Example (连续不能推出可导)

绝对值函数 $f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 不可导；Weierstrass 函数处处连续但处处不可导。

经典导数对函数的连续性要求很高，弱导数则尝试用分部积分把导数转移到测试函数上：弱导数是那个和原函数满足分部积分公式的局部可积函数。

Definition (弱导数)

设 $f,g\in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ ， $\alpha\in\mathbb{N}^n$ 为多重指标。若对任意测试函数 $\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$ 都有

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则称 $g$ 是 $f$ 的 $\alpha$ 阶弱导数，记作 $g = D^\alpha_{\mathrm{weak}} f$ 。

由定义自然得到，弱导数必然是局部可积函数。

Remark (弱导数的基本性质)

唯一性：弱导数若存在，则在几乎处处意义下唯一。
一致性：若 $f$ 经典可导且 $f'\in L^1_{\mathrm{loc}}$ ，则 $f$ 的弱导数存在且几乎处处等于 $f'$ 。因此弱导数是经典导数的推广。

Example (弱导数存在不能推出经典可导)

绝对值函数 $f(x)=|x|$ 的弱导数 $D_{\mathrm{weak}}|x| = \operatorname{sgn}(x)$ 。

弱导数仍然无法覆盖类似阶跃函数这样的重要对象，因此需要进一步放宽：把函数看作一个连续线性泛函（分布），对应的分布导数是一个满足类似分部积分规则的分布。这样推广之后，可以保证任何分布都永远可导。

Definition (分布)

$\Omega$ 上的分布是 $\mathcal{D}(\Omega):=C_c^\infty(\Omega)$ 上的连续线性泛函。分布空间记作 $\mathcal{D}'(\Omega)$ 。

Definition (分布导数)

设 $T\in\mathcal{D}'(\Omega)$ ， $\alpha\in\mathbb{N}^n$ 。定义 $T$ 的 $\alpha$ 阶分布导数 $\partial^\alpha T$ 为

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由定义自然得到，分布导数是一个连续线性泛函（分布）。

Remark (分布导数的基本性质)

存在唯一性：由于 $\eqref{eq:dist}$ 右端有意义，可以直接作为 $\partial^\alpha T$ 的定义，因此任何分布都可导，并且是无限次可导。
一致性：若 $f\in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ 且其弱导数 $g$ 存在，则 $\partial^\alpha T_f = T_g$ 。因此分布导数是弱导数的推广。

每一个局部可积函数都可以自然诱导一个积分算子，因此可以视作一个分布。

Definition (由函数生成的分布)

设 $f\in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ ，定义 $T_f\in\mathcal{D}'(\Omega)$ 为

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映射 $f\mapsto T_f$ 是单射（在 a.e. 意义下），故可把 $L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ 嵌入 $\mathcal{D}'(\Omega)$ 。

Example (分布导数存在不能推出弱导数存在)

阶跃函数 $H(x)=\mathbf{1}_{(0,\infty)}(x)$ 的分布导数为 $\delta_0$ （在 $x=0$ 取值）。由于 $\delta_0\notin L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R})$ ，故 $H$ 没有弱导数。继续求导可得

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由此可见，分布可以无限次求导。

Remark (包含关系)

设 $f\in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ ， $\alpha\in\mathbb{N}^n$ 。则

Copy LaTeX 经典可导且 弱可导 分布可导

且两个蕴含均不可逆。