Niven 定理

Proof

我们证明余弦版本的结论，假设 和 同为有理数，记它们的既约分数表示为（分子分母为互素的整数，且分母为正整数）

利用二倍角公式可得

因此下面的序列都是有理数

记它们的既约分数表示依次为

显然有 ， ，以及递推关系

注意到 和 互素，因此上式右侧就是既约分数

另一方面，注意到余弦函数具有周期性，因此

由于模 只有 个结果，这表明序列 只有有限个取值，进而得到序列 只有有限个取值，结合 可得必然有 ， 因此 是整数，再利用三角函数的有界性可知， 可选的值只有 。