旋转与角速度

考虑 维空间 ，一个固定的旋转变换对应一个线性映射：

其中变换矩阵 满足

第一个条件即要求 是正交矩阵（），保证变换前后的长度不变，第二个条件则是用来剔除反射变换。

考虑刚体绕原点的旋转运动：位置矢量 随时间变化

其中 ， 。 与前面固定的一个旋转矩阵不同，这里的刚体旋转运动可能随时间变化， 定义速度

由于 在任意时刻满足

还可以将速度表示为

这里给出了速度和位矢的直接关系，引入记号 使得

得到

因此

对 求导可得

因此 始终是反对称矩阵。 这里定义的 就是角速度张量（空间坐标系下的表示），它是描述刚体瞬时转动的物理量，在任意空间维数 下都有定义。

如果假设角速度张量不随时间变化

那么由方程

结合初值 可以解得

对于 维空间，反对称矩阵只有 个独立分量，对于 的情况，反对称矩阵形如

这里只有三个独立分量，恰好可以用一个向量表示，因此可以定义

并且满足如下计算关系

这里定义的向量就是所谓的角速度矢量 。（这里实际上 也有明显的几何意义，如果只有一个分量非零，那么恰对应一个轴的旋转）

下面考察角速度张量和角速度矢量在坐标变换下的行为。设对坐标作正交变换

由 可得

因此角速度张量按照通常的二阶张量变换律变换：

另一方面，在三维空间中有

正交变换下叉乘满足

由于 ，也可以改写为

于是

另一方面，根据新坐标系中角速度矢量的定义 可得

对于坐标变换 ，普通的极矢量（真矢量） 应该满足

但是角速度矢量 满足

因此严格地说，三维角速度 不是极矢量，而是一个 轴矢量（axial vector），也称为赝矢量（pseudovector）。

Note

这种特殊性来自三维空间中反对称二阶张量与轴矢量之间的对应，而不是角速度张量 本身的异常，后者才是具有普遍意义的刻画旋转的对象。

二维情况更为简单。任意 反对称矩阵都具有形式

速度可以写成

矩阵 表示将平面中的向量逆时针旋转 ，所以 完全刻画了二维刚体的瞬时旋转： 与 分别对应两个相反的旋转方向。 同理可以推出：对于任意 ，

所以二维的角速度通常可以用一个数 表示，但它并不是普通意义下的标量，而更准确地说是一个赝标量（pseudoscalar）：它的符号依赖于平面的定向。

Note

刚体瞬时旋转最本质的描述是反对称的角速度张量 ，这里要求 ，有 个独立分量。 特别地： 在三维情况下，基于叉乘记号可以对二阶反对称张量简写为一个轴矢量，即所谓的“角速度矢量”； 在二维情况下，还可以简化为一个赝标量，即所谓的“角速度标量”。