圆和球的微积分公式推导

(d=2) 直角坐标系

计算面积对应的二重积分

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可以转换为重积分的计算

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还可以换元计算 $x = r \cos(\theta)$ ， $y = r \sin(\theta)$ ，计算 Jacobi 矩阵的行列式

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因此

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代入计算可得

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圆的周长对应函数 $g(x) = \sqrt{R^2 - x^2}$ 在 $[-R,R]$ 的曲线长度的两倍

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因此 $C = 2\pi R$ 。

Remark

对圆周长的推导通常没什么意义， $\pi$ 就是通过这种方式定义的，但是 $\pi$ 也可以通过其他方式定义，此时这种推导就是有意义的。

(d=2) 平面极坐标系

考虑半径为 $R$ 的实心圆。首先，直角坐标系和平面极坐标系的转换关系如下

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其中： $r > 0$ 是半径， $\theta \in [0, 2\pi)$ 是方位角。面积微元满足

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计算二重积分即可得到圆的面积公式

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直接对面积函数

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考虑周长对应的微元

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其中

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因此

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计算周长

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Remark

直接对面积函数 $S = \pi R^2$ 关于 $R$ 求导就可以得到半径为 $R$ 的圆周长公式 $C = 2\pi R$ 。

(d=3) 直角坐标系

上半球面对应函数 $g(x,y) = \sqrt{R^2 - x^2 - y^2}$ 的图像，对应的直角坐标表示为

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直接计算三重积分

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换元

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计算 Jacobi 矩阵的行列式

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因此

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代入计算即可

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球面对应的面积微元

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其中

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计算叉乘

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因此

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计算上半球表面积

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换元 $x = r \cos(\theta)$ ， $y = r \sin(\theta)$ ，计算可得

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因此

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再次换元： $u = R^2 - r^2$ ， $\,\mathrm{d} u = - 2r \,\mathrm{d} r$ ，因此

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最终得到 $S = 4\pi R^2$ 。

(d=3) 球坐标系

直角坐标系和球坐标系的转换关系如下

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其中： $r > 0$ 是半径， $\theta \in [0, 2\pi)$ 是方位角（对应经度）， $\phi \in [0, \pi]$ 极角（对应纬度）。体积微元满足

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计算三重积分即可得到球的体积公式

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可以考虑球面对应的微元

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其中

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计算叉乘

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因此

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计算表面积

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Remark

直接对体积函数 $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ 关于 $R$ 求导就可以得到半径为 $R$ 的球表面积公式 $S = 4\pi R^2$ 。

(d=3) 牟合方盖

利用两个圆柱体截球体，得到的几何体称为牟合方盖。分析易得，牟合方盖的体积与原本的球体体积之比为： $4 : \pi$ 。这里隐含地使用了一个被称为祖暅原理的定理：对于所有等高处横截面积相等的两个同高立体，其体积也必然相等。（实际上就是微积分的一个性质）

牟合方盖示意图一

牟合方盖示意图二

牟合方盖示意图，取自 wiki 百科

分析过程如下

对于底面为 $R \times R$ 正方形，高为 $R$ 的四棱锥，易得体积为
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对比上下翻转的四棱锥和 $\frac18$ 的牟合方盖，高度 $h$ 处的截面面积为 $h^2$ 和 $R^2 - h^2$ ，记 $\frac18$ 的牟合方盖的体积为 $V_2$ ，那么
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对比 $\frac18$ 的牟合方盖和 $\frac18$ 的球体，高度 $h$ 处的截面面积为 $R^2 - h^2$ 和 $\frac{\pi}4 (R^2-h^2)$ ，记 $\frac18$ 的球体的体积为 $V_3$ ，那么
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因此球体积为 $8 V_3 = \frac43 \pi R^3$ 。