级数相关的笔记 · Shun Li's Notes

自然数的等幂求和

一个经典的问题，连续自然数的 $p$ 次方求和

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对于 $p=0,1,2,3$ ，有如下经典的结果

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我们先给出这几个低次公式的证明： $p=0$ 显然。 $p=1$ 就是等差数列求和，首尾相加即可。 $p=2$ 的证明可以利用恒等式

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对 $k=1,\dots,n$ 求和得到

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因此

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同理可以得到 $p=3$ 的证明，由于

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因此

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代入计算即可得到 $S_n^{(3)}$ 的表达式。

从上述推导可以看出，我们始终可以利用

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的展开式，把 $S_n^{(p)}$ 的计算划归为含有 $\{S_n^{(q)}\,:\, q=0,1,\dots,p-1\}$ 的表达式，并且，化简之后的具体结果必然是一个关于 $n$ 的 $p+1$ 次多项式，因此递归推导是简单的，而且我们还可以直接利用待定系数法得到具体表达式。如果希望得到一个一般性的表达式，则相对繁琐，需要引入很多的记号。

几个著名级数

调和级数发散是一个经典的结论，有很多初等证明，这里给出一个基于微积分的简单直观的证明：

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由于

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求和得到

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因此调和级数发散，而且

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除了调和级数发散，还有一个著名的巴塞尔问题：自然数倒数平方和是收敛的，计算出具体的值

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最简单的证明是利用傅里叶级数：指定函数 $f(x) = x^2$ ， $x \in [-\pi,\pi]$ ，对其进行周期延拓，然后计算傅里叶级数可得

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代入 $x=\pi$ 即可得到

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因此

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交错调和级数也是一个著名的级数

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对于 $|x| < 1$ ，有几何级数

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对 $x$ 逐项积分（积分上限 $t$ 满足 $|t| < 1$ ）（一致收敛保证积分和求和可交换）

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计算定积分可得

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令 $t \to 1^-$ ，由级数判别法知右侧级数在 $t=1$ 收敛，由阿贝尔第二定理，幂级数在收敛区间端点连续，因此

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关于自然数倒数和

下面是一道关于连续自然数倒数和的题目。

Problem

对于任意大于 $3$ 的质数 $p$ ，记

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这里 $m$ 和 $n$ 互素，即 $\frac{m}{n}$ 是化简后的表示。求证： $p \mid m$ 。

Proof

通分求和得到

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注意到 $p-1$ 为偶数，可以在首尾之间按照对称关系两两配对

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Remark

证明过程对一般的 $p$ 看着有点复杂，但是实际思路很简单，直接取 $p=5$ 代入计算就可以找到规律。这道题源自 1962 年 D. O. Shklarsky 等写的一本前苏联奥数竞赛习题集，陶哲轩的《陶哲轩教你学数学》也讲了这道题。

发散级数的求和

对于级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ ，通常意义下的和定义为前 $N$ 项部分和的极限。记

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若极限 $\lim_{N\to\infty}S_N$ 存在，则称级数收敛，并定义

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若部分和数列 $\{S_N\}_{N\ge1}$ 不存在有限极限，则称该级数发散。

例如格兰迪级数

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的部分和为

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因此 $\{S_N\}$ 不收敛，所以该级数在通常意义下发散。

不过，对于某些发散级数，仍然可以引入新的求和规则。这样的规则通常称为可和法。一个可和法可以理解为定义在某一类级数上的求和规则；在常见情形中，它可以看作作用在级数上的线性泛函。若某个可和法对所有通常收敛的级数都给出相同的和，则称该可和法是正则的。需要注意的是，可和法给出的值不应直接等同于通常意义下的级数和。对于一个发散级数，若某种可和法给出数值 $A$ ，更准确的说法是：该级数在这种可和法意义下的和为 $A$ 。

Cesàro 求和

设

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为级数的前 $N$ 项部分和。定义前 $N$ 项 Cesàro 平均为

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若极限 $\lim_{N\to\infty}\sigma_N$ 存在，则称级数 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 是 Cesàro 可和的，称其为该级数的 Cesàro 和

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Example (格兰迪级数的 Cesàro 求和)

考虑格兰迪级数

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它的部分和为

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因此格兰迪级数的 Cesàro 和为

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Abel 求和

Abel 求和来自幂级数的边界极限。先回顾 Abel 定理：设幂级数

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的收敛半径为 $R$ 。若收敛圆上的点 $z_0$ 满足 $|z_0|=R$ ，并且边界级数

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收敛，则有

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这个结论说明：若边界上的级数本来已经收敛，则从收敛圆内部沿半径趋近边界点时，幂级数的极限会给出原来的和。

受此启发，可以定义 Abel 求和。对于级数 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ ，考虑幂级数

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若极限

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存在，则称级数 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 是 Abel 可和的，称其为该级数的 Abel 和

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Example (格兰迪级数的 Abel 求和)

考虑格兰迪级数

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对应的 Abel 幂级数为

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当 (0<r<1) 时，

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因此格兰迪级数的 Abel 和为

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ζ-函数正则化

Cesàro 求和和 Abel 求和可以看作对通常求和的推广。除此之外，还有一类基于解析延拓的正则化方法，也可以给某些发散表达式赋予一个正则化值，典型的例子是 $\zeta$ -函数正则化。

设给定级数 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ ，选取一个趋于无穷的正数序列 $\{\lambda_n\}_{n\ge1}$ ，构造广义 Dirichlet 级数

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通常 $D(s)$ 只在 $\operatorname{Re}(s)$ 足够大时收敛。若 $D(s)$ 可以解析延拓到包含 $s=0$ 的区域，并且在 $s=0$ 处正则，则可以定义 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 的 $\zeta$ -正则化值为 $D(0)$ 。如果 $D(s)$ 在 $s=0$ 处有极点，则不能直接取 $D(0)$ 。在某些问题中还会进一步取有限部分，但这已经属于更一般的正则化过程。

Example (自然数级数的 ζ-正则化)

考虑自然数求和，这是一个通常意义下显然发散的级数

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取 $\lambda_n=n$ ，构造

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当 $\operatorname{Re}(s)>2$ 时，上式按照通常级数意义收敛。通过 $\zeta$ 函数的解析延拓，可以得到 $s=0$ 处的取值

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因此

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