实数域与复数域上的谱定理

谱定理在复数域和实数域上的表述并不完全相同。对复矩阵 $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ ，正规性恰好刻画了酉相似可对角化的矩阵。

Theorem (复数域上的谱定理)

设 $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ ，则

Copy LaTeX 可酉相似对角化 正规

Proof

可酉相似对角化的矩阵 $A$ 显然是正规的，因此我们只需要证明一个方向。

设 $A$ 正规，由复 Schur 分解，存在酉矩阵 $U$ ，使得

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为上三角矩阵。酉相似保持正规性，所以 $T$ 也正规。比较 $T^*T$ 和 $TT^*$ 的 $(1,1)$ 元素，得

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因此 $t_{1j}=0$ 对一切 $j>1$ 成立。于是 $T$ 可写为

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其中 $T_1$ 仍是正规上三角矩阵。对阶数作归纳可知 $T$ 为对角矩阵，故 $A$ 可酉相似对角化。

对实矩阵 $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ ，正规性条件变为 $A^\mathsf{T} A=AA^\mathsf{T}$ 。由于实数域不是代数封闭的，实正规矩阵未必能在实数域上正交相似对角化。例如，二阶旋转矩阵

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满足 $A^\mathsf{T} A=AA^\mathsf{T}=I$ ，但其特征值为 $\pm\mathrm{i}$ ，因而不可能与实对角矩阵相似。实正规矩阵在正交相似时对应的标准形应允许对角线存在二阶实矩阵块。

Theorem (实正规矩阵的块对角形)

设 $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ ，则

Copy LaTeX 可正交相似准对角化 正规

其中准对角化的含义为允许两种形式的对角块：

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分别对应实特征值 $\lambda$ 和成对的共轭复特征值 $a\pm b\mathrm{i}$ 。

Proof

具有上述标准形式的矩阵显然是实正规矩阵，因此我们只需要证明一个方向。

设 $A$ 正规。将 $A$ 视为复矩阵，由复数域上的谱定理， $\mathbb{C}^n$ 有一组由 $A$ 的特征向量组成的单位正交基。由于 $A$ 为实矩阵，非实特征值及其特征向量成共轭对出现。

对于实特征值 $\lambda$ ，可在相应特征子空间中选取一组实单位正交基，每个基向量都给出一个一阶块 $(\lambda)$ 。

再考虑非实特征值 $\lambda=a+b\mathrm{i}$ ，其中 $b>0$ 。若其重数为 $m$ ，则在特征子空间中取单位正交基 $z_1,\dots,z_m$ ，并写成

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正规矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交。因为 $\overline{z_k}$ 属于特征值 $\overline{\lambda}$ 的特征子空间，所以对任意 $j,k$ 都有

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分别比较上述等式的实部和虚部可知， $u_1,v_1,\dots,u_m,v_m$ 是实单位正交向量。将

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的实部和虚部分别比较，得

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因此 $A$ 在每个 $\operatorname{span}_{\mathbb{R}}\{u_j,v_j\}$ 上的表示矩阵均为

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对各个共轭特征值对重复上述构造。不同特征空间之间的正交性保证所得实向量共同构成 $\mathbb{R}^n$ 的一组单位正交基。以这组基为 $Q$ 的列向量，就得到所述块对角形。

Theorem (实数域上的谱定理)

设 $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ ，则

Copy LaTeX 可正交相似对角化 对称

Proof

可正交相似对角化的实矩阵显然是对称的。若 $A=A^\mathsf{T}$ ，则 $A$ 显然正规。容易验证对称矩阵的特征值全为实数，因此可以正交相似对角化。

结合上述结论，还可得到一个常用判别：

Corollary

设 $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ ，则

Copy LaTeX 正规且所有特征值均为实数 对称

Proof

若 $A$ 正规且特征值全为实数，则其实正规块对角形中没有二阶块，因而 $A$ 可正交相似对角化，从而对称。反向结论已在上一个定理的证明中得到。

一些补充说明：

这里的几个结论并不是直接遵循 “正交方阵对应酉方阵” 和 “对称方阵对应 Hermite 方阵” 这两个从实数到复数的标准对应关系。 “实对称方阵等价于正交相似对角化”转换到复数的版本变成了 “Hermite 方阵可以酉相似对角化”，但是实际上有更广的范围： “（复）正规方阵等价于酉相似对角化”。从这个结论拉回到实数版本，则是一个更弱的对应：“实正规方阵等价于正交相似准对角化”。
一个矩阵可以酉相似对角化（或正交相似对角化）并不意味着它的相似对角化的过渡矩阵一定是酉方阵或正交方阵，因为过渡矩阵的选取还有自由度，比如并没有对长度进行标准化，如果存在重特征值，在同一个特征值的特征子空间中，也不一定恰好取到相互正交的向量。