Jordan 块的幂 · Shun Li's Notes

矩阵的幂的计算通常基于 Jordan 分解进行，因此只需要关注 Jordan 块的幂的计算。

Example

计算 Jordan 块

Copy LaTeX

的 $n$ 次幂，其中 $n$ 为非负整数。

Solution

这里不妨将非周期，对单位阵 $I_m$ 向上偏移 $k$ 位得到的矩阵记作 $T_k$ ，即

Copy LaTeX

矩阵 $T_k$ 有非常明确的几何含义：

显然 $T_k$ 和 $\lambda I_m$ 的乘积可交换，而且 $\{T_k\}$ 满足如下性质

Copy LaTeX

并且

Copy LaTeX

由此可以直接计算

Copy LaTeX

当 $n\ge m-1$ 时，具体展开为

Copy LaTeX

上述幂公式中的 $\lambda^0$ 表示常数 $1$ ，也适用于 $\lambda=0$ 。当 $n<m-1$ 时，使用前面的截断求和式，第 $n$ 条超对角线以外的元素均为零，不需要计算负次幂。

Note

幂零矩阵的 Jordan 块只可能是若干个不同尺寸的 $T_1$ ，其中最大 Jordan 块的尺寸决定了幂零的最小次数。

Example

计算 Jordan 块

Copy LaTeX

的矩阵指数

Copy LaTeX

Solution

与 $n$ 次幂的计算类似，利用 $\lambda I$ 和 $T_1$ 可交换以及矩阵指数的性质可得

Copy LaTeX

前者是对角阵，直接按照定义计算即可得到

Copy LaTeX

剩下的部分

Copy LaTeX

这里利用了幂零性质只保留了前有限项。因此

Copy LaTeX

具体来说即

Copy LaTeX