可交换矩阵与同时三角化、对角化

设矩阵 $A,B\in\mathbb{C}^{n\times n}$ 。两个矩阵的乘积可交换关系

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意味着二者具有相容的特征子空间结构： $A$ 的每个特征子空间都是 $B$ -不变子空间，反之也成立。在一般情况下，这一性质只能保证同时上三角化

Copy LaTeX 可同时上三角化

当两个矩阵均可对角化时，可以在各个特征子空间中进一步选取公共特征向量，保证同时对角化

Copy LaTeX 可同时对角化

若假设 $A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值，则

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下面是详细的推导和证明。

Lemma (公共特征向量)

若 $A,B\in\mathbb{C}^{n\times n}$ 满足

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则 $A$ 与 $B$ 至少有一个公共特征向量。

Proof

取 $A$ 的一个特征值 $\lambda$ 。对任意 $v\in\ker(A-\lambda I)$ ，有

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因而

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这说明 $\ker(A-\lambda I)$ 在矩阵 $B$ 的作用下保持不变。

将 $B$ 限制在非零复向量空间 $\ker(A-\lambda I)$ 上。由于复矩阵必有特征值，存在非零向量

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以及 $\mu\in\mathbb{C}$ ，使得

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同时，由 $v\in\ker(A-\lambda I)$ 可知

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因此 $v$ 是 $A$ 与 $B$ 的公共特征向量。

Theorem (同时上三角化)

若 $A,B\in\mathbb{C}^{n\times n}$ 满足

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则存在同一个可逆矩阵 $P\in\mathbb{C}^{n\times n}$ ，使得 $P^{-1}AP$ 和 $P^{-1}BP$ 均为上三角矩阵。

Proof

对矩阵阶数 $n$ 作数学归纳法。当 $n=1$ 时结论显然成立。假设结论对所有 $n-1$ 阶复矩阵成立。现考虑 $n$ 阶矩阵 $A$ 与 $B$ 。由公共特征向量引理，存在非零向量 $v_1$ ，使得

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将 $v_1$ 扩充为 $\mathbb{C}^n$ 的一组基 $\{v_1,v_2,\dots,v_n\}$ ，并令

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在这组基下， $A$ 与 $B$ 分别具有分块形式

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其中 $A_1,B_1\in\mathbb{C}^{(n-1)\times(n-1)}$ 。

由 $AB=BA$ 可知

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因此

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比较右下角分块可得

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根据归纳假设，存在可逆矩阵 $Q\in\mathbb{C}^{(n-1)\times(n-1)}$ 使得 $Q^{-1}A_1Q$ 和 $Q^{-1}B_1Q$ 均为上三角矩阵。令

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则

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因此 $n$ 阶时， $A$ 和 $B$ 可以同时上三角化。归纳得证。

Remark

上述结论依赖于底域为 $\mathbb{C}$ ，若考虑实数域 $\mathbb{R}$ ，由于实矩阵未必具有实特征值，无法保证上三角化。

Lemma

设 $B\in\mathbb{C}^{n\times n}$ 可对角化，考虑 $B$ 的不变子空间 $W \subset \mathbb{C}^n$ 的子空间 $W$ ，则 $B$ 在 $W$ 上的限制也可对角化。

Proof

由于 $B$ 可对角化，其极小多项式 $m_B(x)$ 没有重根。

设 $B|_W$ 表示 $B$ 在不变子空间 $W$ 上的限制。因为

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所以对任意 $w\in W$ 都有

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因此 $B|_W$ 的极小多项式整除 $m_B(x)$ ，因此也没有重根，从而 $B|_W$ 可对角化。

Theorem (同时对角化)

设 $A,B\in\mathbb{C}^{n\times n}$ 均可对角化。若满足

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则存在同一个可逆矩阵 $P\in\mathbb{C}^{n\times n}$ ，使得 $P^{-1}AP$ 和 $P^{-1}BP$ 均为对角矩阵。

Proof

设 $A$ 的所有不同特征值为 $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_k$ 。因为 $A$ 可对角化，所以

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对任意 $v\in\ker(A-\lambda_i I)$

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所以 $A$ 的每个特征子空间 $\ker(A-\lambda_i I)$ 都是 $B$ -不变子空间。

由于 $B$ 可对角化，根据前述引理， $B$ 在每个 $\ker(A-\lambda_i I)$ 上的限制均可对角化。因此，可以在每个 $\ker(A-\lambda_i I)$ 中选取一组由 $B$ 的特征向量组成的基。将各个特征子空间中的这些基合并，便得到 $\mathbb{C}^n$ 的一组基。该基中的每个向量既是 $A$ 的特征向量，也是 $B$ 的特征向量。因此 $A$ 与 $B$ 在这组基下均为对角矩阵。

Remark

这里必须要求 $A$ 与 $B$ 均可对角化。只要求其中一个矩阵可对角化是不够的。例如

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满足条件，但 $B$ 不可对角化。

Theorem (与单谱矩阵可交换的矩阵)

设 $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ 有 $n$ 个互不相同的特征值。若 $B\in\mathbb{C}^{n\times n}$ 满足

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则存在唯一的次数不超过 $n-1$ 的复系数多项式 $p$ ，使得

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Proof

记 $A$ 的 $n$ 个互不相同的特征值为 $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n$ 。由于 $A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值，所以每个特征子空间都是一维的。取相应的特征向量

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向量组 $\{v_1,v_2,\dots,v_n\}$ 构成 $\mathbb{C}^n$ 的一组基。由 $AB=BA$ ，对每个 $i$ 都有

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因此 $Bv_i$ 仍属于 $A$ 关于特征值 $\lambda_i$ 的特征子空间。由于该特征子空间是一维的，存在 $\mu_i\in\mathbb{C}$ ，使得

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根据拉格朗日插值公式，存在唯一的次数不超过 $n-1$ 的复系数多项式 $p(x)$ 满足

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因此

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由于 $\{v_1,\dots,v_n\}$ 构成一组基，所以

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Remark

这里对 $A$ 施加的条件很强，对 $B$ 则不需要添加额外条件。事实上，若 $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ 有 $n$ 个互不相同的特征值，则所有与 $A$ 可交换的矩阵组成的集合为

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