采样定理 · Shun Li's Notes

采样定理描述的是这样一个问题：如果一个函数的频率成分被限制在一个有限区间内，那么这个函数是否可以由等间隔的离散取值唯一确定。为了避免归一化常数的干扰，下面采用 Fourier 变换约定

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其中 $\xi$ 可以理解为通常意义下的频率，单位类似 Hz。

Remark

Fourier 变换有多种常见归一化约定，例如：

普通频率约定：
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角频率的非对称约定：
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角频率的对称约定：
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这些约定本质上只是在 $2\pi$ 的位置和归一化常数上不同。普通频率 $\xi$ 和角频率 $\omega$ 通过变量替换 $\omega=2\pi\xi$ 对应，此时 $d\omega=2\pi\,d\xi$ ，所以普通频率写法中的反变换没有额外的 $\frac{1}{2\pi}$ 。下面所有频率区间、采样频率和 Nyquist 条件都在 $\xi$ 这个普通频率约定下表述。

称 $f$ 是带限函数，如果存在 $B>0$ ，使得

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Definition

对于 $B>0$ ，定义 Paley-Wiener 空间

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这是 $L^2(\mathbb{R})$ 的一个闭子空间。对于 $f\in PW_B$ ，总取其由 Fourier 反变换给出的连续代表元。

Theorem (Shannon 采样定理)

设 $f\in PW_B$ ，取采样间隔 $T>0$ ，采样频率 $f_s=1/T$ 。如果

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那么 $f$ 可以由采样值

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唯一恢复，并且有插值公式

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其中

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Remark

sinc 函数来自频域区间指示函数的 Fourier 反变换。在当前普通频率约定下，

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其中 $x=0$ 时按连续延拓理解。因此，标准采样情形中每一个采样值 $f(n)$ 对应的插值核，正是频域矩形窗口 $\mathbf 1_{[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]}$ 平移相位后的反变换。对一般采样间隔 $T$ ，同样有

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这就是插值公式中

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出现的原因。

Proof

先考虑标准情形 $T=1$ 。此时假设

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记 $I=\left[-\frac12,\frac12\right]$ 。由于 $\widehat f$ 只支撑在 $I$ 上，可以将 $\widehat f$ 看成 $L^2(I)$ 中的函数。在 $L^2(I)$ 中，函数族 $\{e_n(\xi)=e^{-2\pi i n\xi}\}_{n\in\mathbb{Z}}$ 构成一组标准正交基，因此

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这里的展开先理解为 $L^2(I)$ 中的展开。计算 Fourier 系数可得

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另一方面，由 Fourier 反变换和支撑条件，

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因此 $c_n=f(n)$ ，从而

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对两边作 Fourier 反变换，由 $L^2(I)$ 收敛和 Cauchy-Schwarz 不等式可知反变换后的级数逐点收敛到 $f(t)$ ，得到

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直接计算积分

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这里在 $t=n$ 时按照连续延拓理解。因此

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再考虑一般的采样间隔 $T$ 。记

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在 $L^2(I_T)$ 中，函数族 $\{\sqrt T e^{-2\pi i nT\xi}\}_{n\in\mathbb{Z}}$ 构成一组标准正交基。于是

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这里的展开同样先理解为 $L^2(I_T)$ 中的展开。其系数为

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因此

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对其作 Fourier 反变换可得

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因而采样值唯一确定了 $\widehat f$ ，也就唯一确定了 $f$ 。

从证明可以看出，采样定理本质上是 Hilbert 空间中的正交展开问题。频域中的 $\widehat f$ 被限制在有限区间 $I_T$ 上，而采样值 $f(nT)$ 差一个归一化因子后正好是 $\widehat f$ 在指数正交基下的 Fourier 系数。时域中的 sinc 插值公式，只是把这个频域展开再作 Fourier 反变换。

Remark

令 $f_s=1/T$ ，采样定理的条件可以写成 $B\leqslant \frac{f_s}{2}$ ，在很多应用表述中，通常写成严格不等式

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这称为 Nyquist 条件。直观上，这是要求频谱区间 $[-B,B]$ 与它平移一个采样频率后的副本

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不发生重叠。若只取定理中的临界条件 $B\leqslant f_s/2$ ，则端点至多发生测度为零的接触，在 $L^2$ 意义下仍不影响重建。

Remark

混叠现象可以由频谱周期化解释。形式地说，采样序列的离散 Fourier 变换满足 Poisson 求和公式

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因此采样以后，频谱不是单纯保留原来的 $\widehat f$ ，而是以 $f_s=1/T$ 为周期复制并叠加：

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如果原始频谱支撑在一个基本区间

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内，那么这些副本不会重叠，可以从周期化频谱中取回原频谱。如果支撑超过这个区间，不同频率成分在周期化后叠加到同一位置，采样数据中已经无法分辨它们的来源，这就是混叠。

同一个现象也可以从纯频率的角度理解。对 $e^{2\pi i ft}$ ，在采样点 $t_n=nT=n/f_s$ 上有

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如果将频率换成 $f+kf_s$ ，其中 $k\in\mathbb{Z}$ ，则

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因此采样以后，频率 $f$ 与 $f+kf_s$ 给出完全相同的离散序列。换句话说，连续频率空间 $\mathbb{R}$ 被压缩为商空间

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为了唯一恢复连续函数，必须事先把真实频率限制在一个基本区间中，这正是带限假设的作用。

Remark

从更抽象的角度看，采样定理不是说离散点值可以决定任意连续函数，而是说：带限条件把函数限制在 $PW_B$ 这个结构化子空间中，使得点值采样成为一族可以刻画函数的线性观测。在一般的 $L^2(\mathbb{R})$ 中，点值映射

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不是连续泛函，甚至严格来说没有良好定义。因为 $L^2$ 函数只按几乎处处相等来定义，改变单点取值并不改变这个 $L^2$ 元素。但在 $PW_B$ 中，带限函数有由 Fourier 反变换给出的连续代表元，而且点值可以由 $L^2$ 范数控制，因此点值泛函是连续的。于是根据 Riesz 表示定理，对每个 $x\in\mathbb{R}$ ，存在再生核 $K_x\in PW_B$ ，使得

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因此采样算子

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可以理解为一族内积观测：

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不过，仅有 Riesz 表示还不能推出采样重建公式。Riesz 表示只说明每一个点值泛函都有对应的表示元；要想由整组采样值恢复 $f$ ，还需要这族点值泛函足以区分 $PW_B$ 中的元素，也就是采样算子在 $PW_B$ 上是单射：

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进一步，要得到稳定的显式重建公式，还需要相应的核函数系统形成足够好的坐标系统。Shannon 采样定理正是在 Nyquist 条件下说明：等间隔点值采样不仅能够唯一确定带限函数，而且可以通过 sinc 插值给出显式反演。

因此，采样定理可以理解为带限子空间中的坐标表示定理：采样频率足够高，意味着这些点值坐标能够区分空间中的所有元素；采样频率不够高，则采样算子不再是单射，不同函数可能产生同一组采样值，这就是混叠的抽象本质。