关于黎曼 zeta 函数 · Shun Li's Notes

黎曼 zeta 函数是一个复变量的复值函数，记作 $\zeta(s)$ ，这个函数在 $\operatorname{Re}(s) > 1$ 时，可以表示为

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这个级数当然不总是收敛的，在收敛域之外进行解析延拓，最终获得一个定义在整个复平面上的亚纯函数。

关于这个函数的取值，一个经典的结论是自然数的倒数平方和

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还有一些经典的误解，例如取 $s=-1$ 代入，可以得到

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但是这个式子显然是不相等的，在级数的收敛范围之外无法通过代入得到结果。

关于这个函数的零点，一个结论是：在 $s = -2, -4, \dots, -2n, \dots$ 时，都有 $\zeta(s) = 0$ ，这些零点称为 $\zeta$ 函数的平凡零点。与之不同的是， $\zeta$ 函数在长条区域 $0 \leqslant \operatorname{Re}(s) \leqslant 1$ 还可能存在零点，这些被称为非平凡零点。由此引入了著名的黎曼猜想： $\zeta(s)$ 的非平凡零点全部位于 $\operatorname{Re}(s) = \frac{1}{2}$ 这条直线上。

黎曼 zeta 函数和黎曼猜想与素数存在密切关系，例如考虑与素数相关的欧拉乘积公式

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黎曼和-欧拉积等值定理表明： $\zeta(s)=\varepsilon(s)$ ，因此

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关于两者相等，可以给一个非常不严格的证明，虽然不够严格，但是也可以体现其与素数，尤其是埃拉托斯特尼素数筛法之间的联系。

Proof

用第一个素数 $2$ 运算，注意到

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继续用第二个素数 $s=3$ 运算，可以得到

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可以看到，每经过一个素数 $p$ 的运算，右侧的求和就只剩下那些分母不整除 $p$ 的项，这就是埃拉托斯特尼素数筛法的过程。因此，取遍所有素数，可以得到

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