贝特朗悖论
贝特朗悖论（Bertrand paradox）是一个著名的概率学悖论。 通常表述为：在单位圆内“随机”取一条弦，问其长度超过圆内接等边三角形边长
由于自然语言中，对“随机”取弦方式可以有不同的理解，该问题存在多个看似合理的解法，可以得到多个不同的值（例如
几种经典解法
问题的关键在于如何参数化描述圆内的弦，不同的参数化方法会导致不同的结果，因为不同参数化之间的变换无法保持所谓的“等概率”。
常见的几种解法如下：
-
第一种解法是基于这样的事实：在圆内任意给定一点（非圆心），有且仅有一条弦，使得该点为弦中点。因此，任意一个弦都与对应圆内的点一一对应。 满足要求的弦对应的点均在半径
的同心圆中，因此概率为 -
第二种解法基于弦的两个点的选择过程，根据旋转对称性，不妨固定第一个点，那么第二个点只能落在与第一个点相对的
圆弧上，才能保证弦长大于 ，因此概率 -
第三种解法则是根据旋转对称性，不妨先固定一个半径（或者直径也是一样的），考虑所有垂直于这个半径并且相交的弦，可以用弦和半径的交点进行参数化，显然只有靠近圆心的
部分的弦长大于 ，概率为
几种经典解法对应的参数化
之所以出现多个看似合理的解，是因为问题本身没有规定如何对弦进行参数化表示，并且恰好存在多个合理的参数化方案，对应不同的结果。也就是说，问题中的“随机”是存在歧义的，问题本身是不完整的。
Remark
这个悖论说的就是：双射是不保测度的，概率则是基于测度定义的，因此不能随意在不同的参数化方案之间进行转换。
前面几种经典解法对应的参数化方案如下：
-
第一种解法对应的参数化方案为：使用弦中点的平面直角坐标
标记对应的弦 -
第二种解法对应的参数化方案为：使用角度
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第三种解法对应的参数化方案为：使用弦中点的极坐标
标记对应的弦
Remark
事实上，除了这些经典解法，我们还可以构造出其它无穷多种的结果，只要找到新的弦的参数化方案即可。