证明圆周率是无理数

Proof

反证，假设 是一个有理数，其中 为互素的正整数。

构造辅助函数

因此 在 非负，且具有对称性

我们的目标是计算如下积分并说明它是一个整数但是位于 ，从而导出矛盾。

首先从分部积分的方向进行计算，定义辅助函数

因为 只有 次方， ，利用交错相消可得

因此

得到

然后从上界对这个积分进行控制，下面说明：可以取足够大的 ，使得 。 利用二次函数（或基本不等式）放缩可得

因此

取足够大的 ，显然可以保证 。（实际上可以让 趋于 ）

断言：对于任意非负整数 ， 和 都是整数，由对称性只需要证明 始终是整数。 可以直接展开

由于含有 且多项式次数至多为 ，显然

对于 ，

因此断言成立。

至此，我们可以完成证明：对于任意 ，

是两个整数之和，但是却可以在 足够大时属于 ，因此矛盾。