函数作为数学中一个重要的研究对象，在不同的教材/不同的学习阶段中给出了不同的定义。
初中教材提供的函数定义是基于变量的，重点是“一个量随另一个量变化”的依赖关系，会自然引出解析式、列表、图像等表示方式，但这种定义建立在“变化过程”这一直观概念之上，并不是严格的数学定义。
Definition (变量说)
在一个变化过程中，如果有两个变量 与 ，并且对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量， 是 的函数。
高中教材基于朴素集合论与对应的语言重新定义了函数，使用更加严格的逻辑语言，将函数定义为两个集合（主要是数集）之间的一个明确的对应关系。（有时会区分映射和函数的概念，只有定义域和值域都是数集时，才称为函数，对于一般的集合之间的对应关系则称为映射）
Definition (对应说)
一般地，设 是非空的实数集，如果对于集合 中的任意一个数 ，按照某种确定的对应关系 ， 在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数， 记作
其中 是自变量， 的取值范围 是函数的定义域，与 对应的 是函数值， 集合 是函数的陪域，函数值的集合 是函数的值域（显然值域是陪域的子集）。
在高等数学中，函数的定义被进一步严格化和一般化，在公理化集合论（如 ZFC 公理系统）的基础之上，函数被定义为一种特殊的二元关系。
Definition (关系说)
设 为集合。一个从 到 的函数 ，是笛卡尔积 的一个子集，即 ，且满足以下条件：对于每一个 ，都存在唯一的 ，使得 。此时，记 当且仅当 。这个有序对集合 本身通常也被称为函数的图像。