对数函数的常见近似

下面整理一些常见的自然对数函数 的近似表达式，它们在不同区间或精度要求下各有优势。 设 ，只考虑在 附近的近似。（如果考虑在一个区间中的最优近似，则需要从范数进行比较，例如 范数和 范数等，这里不作讨论）

Taylor 展开

直接对 在 进行 Taylor 展开

截断前几项就可以得到近似表达式

1. 一阶：（也就是 处的切线）

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2. 二阶：

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3. 三阶：

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Padé 近似

Padé 近似也就是使用有理函数近似，Mathematica 提供的内置函数 PadeApproximant 可以实现。例如：

其中 是一个常见的近似。

基于指数关系的新近似

注意到 满足如下关系

我们显然无法期望近似表达式也满足上述关系，但是可以利用指数代换产生更多近似表达式。 假设已有 的近似表达式

考虑变量代换 ，其中参数 ，可得

此时不妨将原本的 记作 ，我们可以从一个近似直接得到一族近似表达式

显然不同参数 也会影响近似的效果。 例如基于切线近似 ，那么可以定义

特别的，取 可以得到

对称性与近似的修正

由于 在 两侧关于变换 具有对称性

我们希望近似表达式 也具有上述性质

有的近似表达式直接满足这个性质，例如

有的近似表达式则不满足，例如 Taylor 多项式。

下面提供一种通用做法，可以将任意一个近似 修正为满足上述对称性的近似 。 由于

相减可得

进行变量代换 可得 ，因此

容易验证基于 修正得到的 满足

例如取 为 Taylor 级数

那么

例如直接取第一项截断的近似效果就很好

这个近似很重要，它的实际背景是反双曲三角函数的 Taylor 展开

这个近似也是计算机中log函数的实现原理。 再例如取 ，那么

基于已有近似的线性组合

通过已有近似的线性组合得到的当然也是 的近似，例如从下面两个近似出发

取算术平均可得

还可以继续和其它近似进行线性组合，例如

取 是其中比较好的选择。