Perron–Frobenius 定理 · Shun Li's Notes

Perron–Frobenius 理论描述了非负矩阵的主特征值及其对应特征向量的结构，是正算子理论、Markov 链、幂法以及许多数值离散系统长期行为分析的基础。以下记不等式 $x\geq 0$ 、 $x>0$ 均按分量理解，并记

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为矩阵 $A$ 的谱半径。

Definition

设 $A=(a_{ij})\in\mathbb{R}^{n\times n}$ 。

Theorem (Perron–Frobenius 定理)

设 $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ 为正矩阵，即 $A>0$ 。则：

$\rho(A)>0$ 是 $A$ 的一个特征值，并且代数重数为 $1$ 。
存在严格正的特征向量 $x>0$ ，使得
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这个正特征向量在数乘意义下唯一。
谱间隙：若 $\lambda\in\sigma(A)$ 且 $\lambda\neq\rho(A)$ ，则
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即：在复平面的谱半径圆盘边缘上只有这一个特征值，其它特征值严格落在内部。

正矩阵的假设实际上可以显著减弱到非负矩阵，但是需要加上不可约和本原这两个条件。

Remark

矩阵 $A$ 称为不可约（irreducible）矩阵，如果不存在置换矩阵 $P$ 使得

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其中两个对角块均为非空方阵。

矩阵 $A$ 称为本原（primitive）矩阵，如果存在某个正整数 $m$ ，使得 $A^m > 0$ 。