关于方差的计算

对于随机变量 ，期望为 ，方差定义为

这个方差也可以称为总体方差。 与之不同的概念是样本方差，对于样本 ，首先定义样本均值

作为 的近似，据此定义样本方差

作为 的近似。

一个经典的问题是：为什么这里除以 而非 ？

一个感性的解释是：因为我们使用的是样本来估计整体，包括这里对样本的有限求和，而且使用的是样本均值来近似期望，所以得到的结果偏小，需要乘以一个因子 进行修正。

一个理性的解释是因为这样定义的 的期望是 ，也就是下式成立

证明： 由于 相互独立

对原式展开

由于

因此

计算期望

证毕。

Remark

这里讨论的是样本方差，但是在中小学阶段需要计算的是总体方差，此时 就等于期望，方差计算公式中的分母就是 。